1 Samuzahn

Spaltenvektor Mal Zeilenvektor Beispiel Essay

Hallo! Heute geht es um die Multiplikation von Vektoren. Also, das Wichtigste dabei ist, dass ihr die Reihenfolge beachtet. Schaut sie euch an, und zwar das Ergebnis zum Beispiel, wenn der Zeilenvektor zuerst kommt und der Spaltenvektor danach erscheint, also Zeilenvektor links und Spaltenvektor rechts. Dann wird dann ein Skalarprodukt das Ergebnis sein. So, dann wollen wir das mal allgemein durchspielen: wie gesagt, zuerst der Zeilenvektor. Allgemein wird das a1, a2, a3 zum Beispiel und der Spaltenvektor. Jetzt kann man ganz gut die Leserichtung erkennen. Wie gesagt, der Zeilenvektor links, Spaltenvektor rechts und so lesen wir das auch. Es gibt ein Hilfsmittel dazu, man kann sich die Dimensionen, auch genannt die Anzahl der Spalten und der Zeilen, anschauen, dass ich die mal darunter schreibe. Zum Beispiel: Der Zeilenvektor hat 1 Zeile und 3 Spalten. Und unser Spaltenvektor, kann man hier ganz gut erkennen, hat 3 Zeilen und 1 Spalte. So, damit man das multiplizieren kann, betrachtet man jetzt im Zeilenvektor die Spaltenanzahl und im Spaltenvektor die Zeilenanzahl. Nur, wenn sie gleich ist, kann man die beiden Vektoren multiplizieren, und zwar wie folgt: Wie machen wir das Ganze? Wir können sozusagen das, was wir aufgeschrieben haben, das Innere, wegstreichen und nur die äußeren Zahlen nehmen. Damit erkennen wir schon, was für Spalten- und Zeilenzahlen unser Ergebnis haben wird. Es wird ein Vektor sein, und dieser wird nur eine einzige Zeile und eine Spalte haben. Und logischerweise ist das dann nur eine einzige Zahl. Ok, für unser allgemeines Beispiel kann man sagen, wie das dann errechnet wird: Und zwar, man kann es gut erkennen, a1 wird mit b1 multipliziert, analog dazu werden die weiteren Produkte dazu addiert und gesagt hatte ich, entsteht eine einzige Zahl, das Skalarprodukt. So, jetzt mal ein konkretes Beispiel mit dem Zeilenvektor 4, 5 und 6, den Elementen und dem Spaltenvektor 1, 2, 3. Dann ordnen wir uns das zu, multiplizieren uns die Elemente, addieren sie zusammen und unser Skalarprodukt beträgt dann 32. So, wenn die Reihenfolge umgekehrt ist, also zuerst der Spaltenvektor erscheint und dann der Zeilenvektor von links nach rechts, dann kriegen wir als Ergebnis eine Matrix. Also, es folgt das allgemeine Beispiel wieder. Der Spaltenvektor mit den Elementen a1, a2 und a3 und der Zeilenvektor mit b1, b2 und b3. Dann können wir uns wieder unser Hilfsmittel nehmen, die Anzahl der Zeilen und Spalten. Hier haben wir 3 Zeilen und 1 Spalte und 1 Zeile, 3 Spalten. Wir nehmen wieder das Mittlere weg und dann sehen wir schon, wie viele Spalten und Zeilen unsere Ergebnismatrix haben wird. So, welche Elemente werden jetzt zu welchen hinzugezogen? Da kann man sich eine Tabelle machen und anhand derer sieht man dann ganz gut, wohin die Elemente gehören.Hier kann man dann auch ganz gut erkennen, unsere Ergebnismatrix wird 3 Zeilen und 3 Spalten haben, was wir mit unserem Hilfsmittel auch rausgekriegt haben. So, jetzt wieder ein konkretes Beispiel: unser Spaltenvektor 4, 5 und 6, der Zeilenvektor 1, 2 und 3, wie gesagt, wieder die Tabelle, schön mit 4×1, 4×2, 4×3 in der 1. Zeile, und folgend ebenso und unsere Ergebnismatrix lautet dann 1. Spalte 4, 5 und 6, 2. Spalte 8, 10 und 12, 3. Spalte 12, 15 und 18.

Multiplikation von Matrizen

Es wäre nahe liegend, die Matrizenmultiplikation analog zur Addition komponentenweise zu definieren. Wir verwenden jedoch ein auf den ersten Blick komplizierter anmutendes Verfahren. Dieses erlaubt dann eine enge Beziehung zwischen der Matrizenmultiplikation und der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen herzustellen (vgl. Satz 15YX).

Damit zwei Matrizen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) miteinander multipliziert werden können, müssen sie zueinander passen. Die Anzahl der Spalten von \(\displaystyle A\) muss mit der Anzahl von Zeilen von \(\displaystyle B\) übereinstimmen.

Seien nun \(\displaystyle A\in\Mat(m\cross l,K)\) und \(\displaystyle B \in\Mat(l\cross n,K)\). Unter dem Produkt der Matrizen verstehen wir die Matrix \(\displaystyle C\in\Mat(m\cross n,K)\), deren Elemente \(\displaystyle c_{ij}\) sich als folgende Summen ergeben:

Die Elemente der Produktes entstehen also durch komponentenweise Multiplikation der Zeilenvektoren aus \(\displaystyle A\) und der Spaltenvektoren aus \(\displaystyle B\) und Aufsummieren der Ergebnisse.

Merkregel: Das Element an der Position \(\displaystyle i,j\) entsteht aus der \(\displaystyle i\)-ten Zeile von \(\displaystyle A\) und der \(\displaystyle j\)-ten Spalte von \(\displaystyle B\).

Beispiele

\(\displaystyle \pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }\cdot \pmatrix {7 &{\, 10}\\ 8& {\, 11} \\ 9 &{\, 12}}\) \(\displaystyle =\pmatrix { {1\cdot 7+2\cdot 8+3\cdot 9}& {1\cdot 10+2\cdot 11+3\cdot 12} \\ {4\cdot 7+5\cdot 8+6\cdot 9}& {4\cdot 10+5\cdot 11+6\cdot 12} }\) \(\displaystyle =\pmatrix{{50}& {68}\\{122}&{167}}\)

\(\displaystyle \pmatrix {7 &{\, 10}\\ 8& {\, 11} \\ 9 &{\, 12}}\cdot \pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }\) \(\displaystyle =\pmatrix{ {7\cdot 1+10\cdot 4}&{7\cdot 2+10\cdot 5}&{7\cdot 3+10\cdot 6}\\ {8\cdot 1+11\cdot 4}&{8\cdot 2+11\cdot 5}&{8\cdot 3+11\cdot 6}\\ {9\cdot 1+12\cdot 4}&{9\cdot 2+12\cdot 5}&{9\cdot 3+12\cdot 6} }\) \(\displaystyle =\pmatrix{{47\, }&{64\, }&{81}\\ {52\, }&{71\, }&{90}\\{57\, }&{78\, }&{99}}\)

Multiplikation von Matrizen und Vektoren

Einen Spaltenvektor kann man als \(\displaystyle m\cross 1\)- Matrix auffassen und einen Zeilenvektor als \(\displaystyle 1\cross n\)- Matrix. Damit kann sofort die Multiplikation "Matrix mal Spaltenvektor" sowie "Zeilenvektor mal Matrix" auf die Multiplikation von Matrizen zurückgeführt werden. Das Ergebnis ist dann ein Spaltenvektor bzw. ein Zeilenvektor.

Beispiel

\(\displaystyle \pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }\cdot \pmatrix{1 \\ \me\\ 2}=\pmatrix {{1\cdot 1-1\cdot 2+2\cdot 3 }\\ {1\cdot 4-1\cdot 5+2\cdot 6 }} \) \(\displaystyle =\pmatrix {{5}\\ {11}}\)

\(\displaystyle \pmatrix {2&1}\cdot\pmatrix {1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 }=\pmatrix{2\cdot 1+1\cdot 4& 2\cdot 2+1\cdot 5& 2\cdot 3+1\cdot 6}\)\(\displaystyle = \pmatrix {{6} & 9& 12}\)

Hochtechnologie ist im wesentlichen mathematische Technologie.

Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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\(\displaystyle c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\)

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